Resolución de triángulos
Resolver un
triángulo significa determinar el valor de todos sus lados y todos sus ángulos.
Triángulos rectángulos
Para
resolver completamente un triángulo rectángulo basta con conocer un lado
y un ángulo o, también, dos lados. Los elementos utilizados en la resolución de
triángulos rectángulos son:
Triángulo
rectángulo.
- El principio de que la suma de los dos ángulos no rectos es igual a 90º.
- El teorema de Pitágoras.
- Las razones trigonométricas siguientes:
Sen B = cos C = b/a, cos B =
sen C = c/a, tg B = b/c, tg C = c/b.
Resolución de un triángulo no rectángulo
Para la
resolución completa de un triángulo cualquiera basta con conocer tres de sus
datos, salvo si se trata de los tres ángulos. A partir de ellos, se utilizan
las siguientes herramientas para el cálculo de sus lados y sus ángulos:
- El principio de que la suma de los tres ángulos es igual a 180º.
- El teorema del seno
- El teorema del coseno
- Las fórmulas del cálculo del área del triángulo:
Donde b es la base; h, la altura; p, el semiperímetro
del triángulo; r, el radio de la circunferencia inscrita, y a, b, c, los lados.
El teorema de la tangente, que se expresa como:
Semejanza entre triángulos
Dos
triángulos se denominan semejantes cuando todos sus ángulos son iguales
y sus lados proporcionales entre sí. El coeficiente de proporcionalidad entre
cada dos lados correspondientes de los dos triángulos se denomina razón de
semejanza.
Los
triángulos semejantes cumplen las dos propiedades siguientes:
- La razón entre dos alturas correspondientes de ambos triángulos es igual a la razón de semejanza.
- La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
Teoremas de los triángulos rectángulos
La
aplicación de los principios de la semejanza de triángulos permite deducir las
relaciones métricas que existen entre sus elementos. Estas relaciones se
resumen en algunos teoremas esenciales de la geometría plana:
- El teorema de la altura indica que, en un triángulo rectángulo, la altura que corresponde a la hipotenusa se calcula como la media proporcional entre los segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa.
- Según el teorema del cateto, en un triángulo rectángulo el valor de cada cateto se obtiene como la media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre ella.
- El teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.